periodic2 の静電場

fields.boundary="periodic2" は、x/y 方向に無限に繰り返し、z 方向には繰り返さない表面の場を計算します。 レゴリスのような広い表面の一部をセル 1 つで表すときに使います。BEACH はこの場を 3 つの成分に分け、 それぞれを一度ずつ足します。このページは、各成分が何を表し、どの設定で計算されるかを説明します。

何を解くか

セル内の表面電荷と、その x/y 方向の全ての複製がつくる場です。複製の和を、性質の違う 3 つの成分に分けます。

成分	物理的な意味	計算のしかた
近くの複製	セルとその周囲 $N$ 層の複製がつくる、強く変化する局所的な場	有限画像として直接の和（Direct または FMM）
遠くの複製の面内変動成分（$k\ne0$）	周囲 $N$ 層より外の複製がつくる、x/y 方向に変化する滑らかな場	遠方補正（cached_kneq0）。有限画像だけなら含めない
面平均成分（$k=0$）	x/y 方向に平均した場。各高さより下の総電荷で決まる	三角形の高さ分布から解析的に計算

面平均成分は数値的に消してよい成分ではなく、Gauss の法則と下側の境界条件で決まる物理的な成分です。

設定

[domain]
box_min = [0.0, 0.0, 0.0]
box_max = [1.0e-4, 1.0e-4, 1.0e-3]
periodic_axes = ["x", "y"]

[fields]
boundary = "periodic2"

[fields.solver]
method = "fmm"

[fields.periodic]
backend = "cached_kneq0"
image_layers = 1
lower_boundary_model = "symmetric_vacuum"

周期の軸は domain.periodic_axes で決め、場・粒子・照射の光線に共通です。periodic2 は x/y 周期・z 非周期の組み合わせだけを受け付けます。

backend を選ぶ

fields.periodic.backend	含む成分	用途
finite_images	近くの複製だけ。面平均成分を分けない	有限画像のモデル、小さな比較
cached_kneq0	3 成分すべて	FMM での通常の計算
panel_spectral_reference	3 成分すべて（面内変動成分を Fourier 和で直接計算）	Direct での小さな基準解

finite_images の結果は、画像の層を増やして収束を確かめるまで、無限に繰り返す表面の解として扱えません。 ソルバと場境界の組み合わせは場ソルバを選ぶにあります。

有限画像

image_layers=1 は中央を含む 3×3 セルで、cached_kneq0 はその外側と物理的な面平均成分も含めます。

fields.periodic.image_layers $=N$ は、セルの周囲 $N$ 層の複製 $(i,j)\in[-N,N]^2$ を直接足します。

$N$	足すセル
0	セル自身だけ（$1\times1$）
1	周囲 1 層（$3\times3$）
2	周囲 2 層（$5\times5$）

遠方補正は、この $N$ 層の外側の複製だけを足します。FMM で直接足す層と、遠方補正が差し引く層は一致している必要があり、 遠方補正の演算子は層の数ごとに作ります。

遠くの複製の面内変動成分

cached_kneq0 は、無限に繰り返す複製の和（Ewald 和）から、直接足した $N$ 層の寄与と面平均成分を除いたものを、 周期 box の固定格子に対して事前に作った演算子で FMM に加えます。同じ box と設定なら物体集合が違っても再利用します。面平均成分を除くのは、下の解析的な面平均成分と二重に数えないためです。 演算子の作り方、cache、精度はperiodic2 遠方補正にあります。

面平均成分（$k=0$）

三角形 $i$ の総電荷を $q_i$、その面積のうち高さ $z$ 以下にある割合を $F_i(z)$ とすると、高さ $z$ より下の総電荷は

$$C(z)=\sum_iq_iF_i(z)$$

です。$F_i$ は 3 頂点の高さの間で区分的な 2 次式なので、$C(z)$ も区間ごとの 2 次式になります。セルの面積を $A=L_xL_y$、下側の遠方の電場を $E_\mathrm{bottom}$ とすると、Gauss の法則から

$$E_0(z)=E_\mathrm{bottom}+\frac{C(z)}{\epsilon_0A}$$

です。基準点 $(z_g,\phi_g)$ からの電位は

$$\phi_0(z)=\phi_g-E_\mathrm{bottom}(z-z_g) -\frac1{\epsilon_0A}\int_{z_g}^zC(\zeta)\,d\zeta$$

です。総電荷が 0 でないセルでは、上方に一定の電場と線形の電位が残ります。

下側の境界条件

lower_boundary_model	$E_\mathrm{bottom}$	$E_\mathrm{top}$	意味
symmetric_vacuum	$-Q/(2\epsilon_0A)$	$+Q/(2\epsilon_0A)$	上下に同じ真空が広がり、外部の電場がない
e_bottom_zero	$0$	$Q/(\epsilon_0A)$	最下層の電荷より下で電場が 0
e_top_from_sheath	$E_H-Q/(\epsilon_0A)$	$E_H$	外部根の $E_z(H^+)$ と接続。sheath.closure="zero_current" 専用

$Q=\sum_iq_i$ はセルの総電荷です。総電荷が 0 なら symmetric_vacuum と e_bottom_zero は一致します。 e_top_from_sheath は H に面電荷がない Neumann 条件です。いずれも物体内部の誘電分極や遮蔽は解きません。

電位の基準

面平均成分の基準点は、外部シースとの接続を使うと上端面 $(z_\mathrm{high},\phi_0)$ になり、電位は上流のプラズマを 0 V とする値になります （外部シースとの接続）。それ以外では、電位は上端面の平均との差として読みます。

外部シースの平均場で置き換えられない理由

粒子の層の中では、総電荷が小さくても、高さごとに正負の電荷が分かれていれば $C(z)$ は大きく変わります。 この層内の平均場も面平均成分です。外部シースの平面の場だけで置き換えると、表面電荷がつくるこの成分を落とします。 外部シースとの接続では層内の平均場を表面電荷から計算し、e_top_from_sheath を選ぶと外部根の法線電場を境界値として加えます。

上部真空の Fourier 評価への切替

切り替えるのは面内変動成分だけで、面平均成分と一様外部場の合成方法は共通です。

上端 H 付近の局所展開誤差を避けるには、cached_kneq0 と組み合わせて次を設定します。

[fields.periodic.upper_fourier]
switch_height = "auto"
mode_layers = 0

既定の "off" は従来の FMM 評価です。有効時は $z\ge z_\mathrm{switch}$ の非零成分を上部真空の panel Fourier 和で評価し、 下側では FMM と cached 補正を使います。粒子の電場、局所障壁、帰還電位、上端面サンプルに共通で、零モードと一様外部場の合成は同じです。 panel 電位は切替面より下にあり、対象外です。upper_panel_fourier retry も同じ plan を共有します。

"auto" は $z_\mathrm{top}+0.25\min(L_x,L_y)$ から $H-10^{-9}(H-z_\mathrm{min})$ までの等間隔16面を比較します（$z_\mathrm{min}$ は box 下端。$10^{-9}(H-z_\mathrm{min})$ が $H$ の浮動小数点刻みより小さいときは $H$ の1つ下の値）。 上端は box 高さに比例するので、同じ配置を z 方向へ平行移動しても候補区間は一緒に動きます。 代理電荷は全 panel +1、mesh ID 偶数 +1 / 奇数 −1、各 mesh の centroid 高さ中央値以上 +1 / 未満 −1 の3組で、それぞれ $\sum|q|=1$ pC にします。 各面の12×12セル中心で FMM−Fourier 電位差の rms を求め、3組の最大値が最小の面を選びます。同値なら低い面を選びます。 実電荷には依存せず、起動・再開時に各 MPI rank が同じ順序で再計算します。比較値の単位 V はこの代理電荷規格化（総 $|q|$ = 1 pC）に対する値です。

実数は metre の固定高さです。$z_\mathrm{top}+0.1\min(L_x,L_y)\le z_\mathrm{switch}<H$ が必要で、auto の候補区間が空なら設定エラーです。 次数0は、最初の打切りモードの減衰 $\exp[-2\pi(m+1)(z_\mathrm{switch}-z_\mathrm{top})/\max(L_x,L_y)]\le10^{-6}$ を満たす最小次数を選びます。 下限は fields.periodic.reference.mode_layers、上限32で、明示次数は1〜32です。切替を使うと reference の次数も1〜32が必要です。 plan は既存の7点 panel 求積を用いるため、Fourier 打切りと面積求積の誤差は残ります。

切替は periodic2・cached 非零成分・零モード除外の構成専用です。外部シース接続で off の場合は起動時に1行警告します。 選択値と実電荷の接続面 rms は出力リファレンスで確認します。

粒子の衝突と周期画像

場はセル内へ戻した位置で評価しますが、粒子の軌道は物理的な座標のまま追跡します。表面との衝突は、 軌道が届き得る周期画像を幾何的に探して判定します（粒子の衝突・境界イベント）。

収束を確かめる

• finite_images では、image_layers を増やして注目する量が変わらないことを確かめる。
• cached_kneq0 では、cache を作り直した結果と再利用した結果、スレッド数・MPI 構成を変えた結果が一致することを確かめる（periodic2 遠方補正）。
• 総電荷が 0 でないセルでは、有限の高さでの電位差を、そのまま無限遠へ逃げるのに必要なエネルギーと読まない。

適用範囲

• 周期は x/y の 2 軸だけです。z 方向は繰り返しません。
• 物体の内部の誘電分極、抵抗、遮蔽は解きません。