第 2 章　モデルの分担と支配方程式

2.1 状態量と計算領域

表面メッシュを $N$ 個の三角形 $T_i$ で構成し、頂点、面積 $A_i$ 、重心 $\bm{c}_i$ 、単位法線 $\bm{n}_i$ を保持する。形状は帯電計算中に固定される。要素の状態量は総電荷 $q_i$ [C] であり、面電荷密度は

\begin{equation*} \sigma_i=\frac{q_i}{A_i}\qquad[\mathrm{C\,m^{-2}}]\tag{2.1} \end{equation*}

である。

荷電テスト粒子 $p$ は、位置 $\bm{x}_p$ 、速度 $\bm{v}_p$ 、実粒子一個の電荷 $q_p$ 、質量 $m_p$ 、macro weight $w_p$ を持つ。軌道は電荷質量比 $q_p/m_p$ で決まり、表面へ移す電荷は $q_p w_p$ である。粒子種ごとに、電荷・質量、速度分布、粒子源、境界での作用を指定する。図2.1に、場の source、粒子の運動、表面への電荷移送の分担を示す。

**図 2.1**　表面場、粒子追跡、電荷移送のモデル分担。軌道と凹凸は模式図である。粒子の運動には実粒子の $q_p/m_p$ 、電荷収支には重みを含む $q_pw_p$ を使う。外部シースを接続する場合の上端面条件は図8.11に示す。

2.2 テスト粒子と表面電荷の自己無撞着性

粒子の運動方程式は、非相対論的 Lorentz 力

\begin{equation*} \frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\bm{x}_p}{\mathop{}\!\mathrm{d}t}=\bm{v}_p,\qquad \frac{\mathop{}\!\mathrm{d}\bm{v}_p}{\mathop{}\!\mathrm{d}t} =\frac{q_p}{m_p}\left[\bm{E}(\bm{x}_p)+\bm{v}_p\times\bm{B}_0\right]\tag{2.2} \end{equation*}

である。 $\bm{B}_0$ は一様な外部磁場であり、誘導磁場は求めない。場は表面電荷と指定した外場から作る。

自由空間の静電場では、表面以外の領域に対して

\begin{equation*} \nabla^2\phi=0,\qquad \bm{E}=-\nabla\phi+\bm{E}_0\tag{2.3} \end{equation*}

となる。ここで $\phi$ は表面電荷が作る電位であり、一様外場を電位に含める場合は $-\bm{E}_0\cdot\bm{x}$ を一度だけ加える。追跡中の電子・イオンが空間に作る体積電荷は、この場の右辺に含まれない。

表面電荷の更新と次の粒子軌道は結合するが、体積プラズマを自己無撞着に解く PIC ではない。第8章の外部シース closure は箱の外の空間電荷を上端面の条件として取り込むが、箱の内側の体積電荷を補うものではない。局所の空間電荷が場を支配するケースでは、その効果を独立した kinetic 計算で調べる。

2.3 二つの時間刻み

粒子の一回の軌道更新幅を $\delta t$ 、表面電荷更新のバッチ幅を $h$ とする。バッチ数を $N_b$ とすると、累積帯電時間は受理された幅の和

\begin{equation*} t_{\mathrm{charge}}=\sum_{n=0}^{N_b-1} h_n\tag{2.4} \end{equation*}

となる。粒子一個の追跡時間の上限 $N_{\max}\delta t$ （ $N_{\max}$ は step 数の上限）は別の量である。一つのバッチで複数の粒子種の軌道を順に追っても、その飛行時間を足して帯電時間にはしない。

2.4 一バッチの結合手順

図2.2の順序で、場の構成から電荷差分の確定までを一バッチとして進める。

**図 2.2**　基本の表面帯電サイクル。外部シースを接続する場合は、吸収・放出の電荷差分を外部根の電流目標に合わせ、外部根の更新があれば受理後に根を解き直す。

同じバッチ中の粒子は同じ場を参照する。先に吸収された粒子の電荷が、後続粒子へ即時に作用することはない。この分離によって粒子ごとの並列計算が可能になる一方、場を固定する時間幅の誤差を持つ。各バッチで生成した粒子は、そのバッチの中で吸収、escape、追跡上限のいずれかに達するまで追い、次のバッチへ持ち越さない。追跡上限に達した粒子は未解決として、吸収や escape と区別して集計する。したがって、バッチ幅を超える飛行時間による帰還の遅れは表現しない。