第 7 章　表面電荷更新と時間離散化

7.1 絶縁体への電荷蓄積

粒子 $p$ が要素 $i$ へ最初に吸収されたとき、その粒子を追跡から除き、

\begin{equation*} \Delta q_i^{\mathrm{abs}}\mathrel{+}=q_p w_p\tag{7.1} \end{equation*}

を記録する。放出反作用と選択した closure の補正を含む電荷差分を、バッチ内の全粒子について集約した後に一度だけ反映する。絶縁体の基本更新は

\begin{equation*} q_i^{n+1}=q_i^n+\Delta q_i^{\mathrm{abs}} +\Delta q_i^{\mathrm{emit}}+\Delta q_i^{\mathrm{closure}}\tag{7.2} \end{equation*}

である。光電子と二次電子（第6章）の放出元に置く反作用電荷は $\Delta q_i^{\mathrm{emit}}$ に含まれる。弾性・非弾性の表面散乱、材料内の伝導・拡散はこの吸収モデルに含まれない。

7.2 閉じた光電子の統計的帰還 closure

反射境界によって光電子軌道を閉じても、追跡上限で未帰還が残ることがある。中性帰還 closure は、放出粒子の符号付き電荷 $S<0$ 、解決済み再吸収 $R<0$ 、未解決 $U<0$ に対して $S=R+U$ を確認し、帰還の deposit を $S/R$ 倍する。放出反作用の $-S$ と合わせた表面総電荷増分は零になる。ただし総電荷が零でも、高さの異なる面の間で電荷が移れば、面平均した鉛直方向の双極子は残る。

この closure は、未解決粒子の帰還先が解決済み粒子と同じ分布を持つと仮定する。長寿命粒子が特定の表面や速度に偏る場合は、この仮定が成立しない可能性がある。放出があるのに帰還がない場合や実際の escape がある場合にはこの仮定を適用せず、未帰還率が $5\%$ を超える場合も適用範囲外とする。倍率と未帰還率は計算ごとに記録し、結果とともに示す。

固定電流 closure は、与えた電流 $I$ の目標電荷 $Ih$ に軌道から得た分布を合わせる別の closure である。光電子では放出と再吸収を別々に規格化する。大きい二電流の差である小さな正味電流を倍率の分母に用いると、標本誤差を増幅するためである。この補正は軌道から得た空間分布を使う一方、総電流の振幅は外部モデルから与える。倍率が安定でも、要素ごとの分布の統計精度は標本数で決まる。例えば帰還が一件しかなければ、帰還の目標の全量がその要素に置かれる。倍率が 1 から大きく離れる計算では、追跡ではなく closure の仮定が電荷分布を決めている。

7.3 浮遊導体の等電位化

同じ物体に属する浮遊導体の要素電荷を、物体の総電荷を保ったまま、要素重心の電位が等しくなるよう再配分できる。バッチの場と同じ評価法で、導体要素 $j$ だけに単位電荷を置いたときの導体要素 $i$ の重心電位から、全電荷が零のときの電位（外場と電位の基準定数）を引いたものを influence coefficient $H_{ij}$ とする。電位は電荷について affine なので、 $H_{ij}$ は電荷に対する線形部分だけを表す。自由空間では

\begin{equation*} H_{ij}=\frac{k_{\mathrm c}}{A_j}\int_{T_j} \frac1{\lVert\bm{c}_i-\bm{y}\rVert}\mathop{}\!\mathrm{d}S_{\bm{y}}\tag{7.3} \end{equation*}

であり、2 軸周期場では周期画像、遠方作用素、零モード（第4章）の寄与も含む。導体 group $g(i)$ の未知電位を $V_{g(i)}$ 、絶縁体電荷・外場・電位の基準定数による電位を $\phi_i^{\mathrm{fixed}}$ とすると、

\begin{align*} \sum_{j\in\mathrm{conductor}}H_{ij}q_j-V_{g(i)} &=-\phi_i^{\mathrm{fixed}},\tag{7.4}\\ \sum_{i\in g}q_i&=Q_g^{\mathrm{before\ relaxation}}\tag{7.5} \end{align*}

を解く。geometry は固定なので、 $H_{ij}$ と、この連立方程式の部分 pivot 付き LU 分解は計算の開始時に一度だけ作り、各バッチでは右辺だけを更新して解く。

この再配分は、吸収・放出後の各物体の総電荷を保存する。物体間に接触電流を流すモデルや、接地電位を固定するモデルではない。外部シースを接続して電位の基準を移しても、基準は定数として導体電位に加わるだけで、再配分には影響しない。基本の絶縁体計算とは区別して検証し、mesh の細分化に対する物体電位と表面電荷分布の収束を確認する。

7.4 バッチ幅の安定性

固定した $\bm{q}$ に対する粒子応答を十分に平均できると仮定し、要素ごとの符号付き電流密度を $J_i(\bm{q})$ とする。平均帯電速度 $F_i=A_iJ_i$ に対して、絶縁体の更新は概念的に

\begin{equation*} \bm{q}^{\,n+1}=\bm{q}^{\,n}+h\bm{F}(\bm{q}^{\,n})+\bm{\eta}^n\tag{7.6} \end{equation*}

となる。 $\bm{\eta}^n$ は有限標本に由来する電荷誤差である。滑らかな平均応答の仮定では、場を固定する更新は陽的 Euler 型の帯電離散化と解釈できる。

平均固定点 $\bm{q}^*$ は $\bm{F}(\bm{q}^*)=0$ を満たす。固定点の式に $h$ が現れなくても、離散更新が同じ点へ安定に収束するとは限らない。 $\mathsf M=\partial\bm{F}/\partial\bm{q}|_{\bm{q}^*}$ に対する線形条件は

\begin{equation*} \rho(\mathsf I+h\mathsf M)<1\tag{7.7} \end{equation*}

である。支配固有値が実負で単一の時間尺度 $\tau$ に近似できるときだけ、 $h<2\tau$ が非発散、 $h<\tau$ が単調収束の目安となる。複素固有値、非正規結合、複数固定点にはこの目安をそのまま適用できない。図7.1は、単一の線形緩和に限った場合の単調減衰、交互減衰、増大を比較する。

$\tau$ の候補になる物理的な時間尺度には、速いプラズマ応答の目安である電子プラズマ周波数の逆数 $\omega_{pe}^{-1}$ と、表面電荷が変わる遅い応答の目安である帯電時間 $\tau_{\mathrm{charge}}\sim C_{\mathrm{eff}}/G_{\mathrm{eff}}$ （ $C_{\mathrm{eff}}$ は等価容量、 $G_{\mathrm{eff}}$ は電位に対する正味電流の感度）がある。実際の上限は geometry、電位、流入分布、表面応答にも依存するので、どちらかをそのまま $h$ の上限にはできない。また $\bm{\eta}^n$ の分布は macro 粒子数と重みで決まり、 $h$ を変えると重みも変わる粒子源では、幅の比較に時間離散化の差と標本分散の差の両方が含まれる。幅の比較では乱数の種と並列構成を揃え、粒子数と重みも記録して、標本誤差が支配的なら先に粒子統計を改善する。

単一線形緩和モデルのバッチ幅と安定性 — **図 7.1**　実負の固有値 $-1/\tau$ を一つだけ持つ線形モデルの、バッチ幅による安定性の違い。各点は図中の漸化式から直接計算した値で、BEACH の帯電履歴ではない。全 panel の縦軸尺度は共通である。標本誤差、複素固有値、非正規結合は含めていない。

7.5 非零モードの適応幅と監視値

周期場では候補電荷の変化に対して

\begin{equation*} \max_i|\Delta\phi_{k\ne0}(\bm{c}_i;\Delta\bm{q})|\le\Phi_{\max}\tag{7.8} \end{equation*}

を満たすバッチ幅を受理できる。不合格なら $h/2,h/4,\ldots$ を試し、棄却した試行は乱数状態を含めて破棄する。この上限は固定した非零場の変化を抑える条件であり、局所打切り誤差の推定や全系の精度保証ではない。零モード、外部応答、粒子標本の誤差は別に評価する。

電荷変化の監視量は

\begin{equation*} r_q=\frac{\lVert\bm{q}^{\,n+1}-\bm{q}^{\,n}\rVert_2} {\max(\lVert\bm{q}^{\,n+1}\rVert_2,q_{\mathrm{floor}})}\tag{7.9} \end{equation*}

である。 $r_q$ は監視量であり、計算の停止条件には用いない。小さい $h$ や大きな残留電荷によって比が小さくなる場合もあるため、これだけで正味電流が零、または平衡が達成されたと判断しない。